Gioco Combinatorio · Specimen

1 — Dal genoma al fenotipo

Ogni cellula parte da un genoma 4×4 (16 alleli). Coppie di alleli vengono risolte per dominanza (OR: basta un allele dominante perché il locus si esprima) in 8 loci. Gli 8 loci attraversano una trasformazione XOR ciclica con shift 2 (write_t = L_t ⊕ L_(t+2 mod 8)), producendo 8 bit di output. I primi 6 di questi bit sono il codice, che è anche il fenotipo: 6 caratteri binari, 2⁶ = 64 combinazioni possibili, decodificate come coordinata riga/colonna in una griglia 8×8 (PF8).

2 — I 6 caratteri e il loro meccanismo

† il sesso non è un locus a dominanza mendeliana: i due bit sorgente rappresentano i due cromosomi sessuali (X/Y), non due alleli dello stesso gene in competizione. "Basta un Y per essere maschio" coincide numericamente con un OR, ma non c'è dominanza fra varianti — per questo nel pannello Fenotipo e nel genoma (celle in ciano) non viene mai colorato come "dominante". Capelli e pelle restano semplificazioni didattiche di tratti poligenici. Occhi, lattosio e vista sono gli esempi più fedeli a un vero locus mendeliano singolo.

3 — Quali loci determinano quale fenotipo

I loci L2-L5 contribuiscono a due fenotipi ciascuno (una volta come base del proprio tick, una volta come partner del tick precedente di 2 posizioni). L0, L1, L6, L7 contribuiscono a un solo fenotipo ciascuno — i primi due solo come base, gli ultimi due solo come partner, dato che i tick 6 e 7 esistono ma non producono un proprio carattere (il codice usa solo i primi 6 bit). I loci centrali hanno quindi un peso fenotipico maggiore di quelli alle estremità della sequenza.

4 — L'anello dei loci

Le 8 connessioni base→partner non formano un unico ciclo di lunghezza 8, ma si scompongono in due quadrati indipendenti (0-2-4-6 e 1-3-5-7), perché lo shift 2 non è coprimo con 8. Per questo la trasformazione non è iniettiva: genomi diversi possono produrre lo stesso fenotipo, e con alcuni genomi metà della sequenza collassa a zero (il caso "silent_message" nel pannello di ispezione).

5 — Perché le 64 celle PF8 sono equiprobabili

Con il genoma casuale, ogni allele ha probabilità p = 1 − √0.5 ≈ 0.293, non 0.5. Questo valore non è arbitrario: risolve esattamente l'equazione 1 − (1 − p)² = 0.5, cioè rende ciascuno degli 8 loci un bit equiprobabile (probabilità esatta 0.5, non approssimata), nonostante resolveDominance usi un OR che normalmente sbilancia i loci verso 1.

Dato che gli 8 loci sono indipendenti fra loro (ciascuno deriva da una coppia di celle del genoma disgiunta dalle altre) e ciascuno è un bit equo, il vettore degli 8 loci è uniforme su tutti i 2⁸ = 256 pattern possibili. La regola bit_t = L_t ⊕ L_(t+2) è una trasformazione lineare su GF(2) — lo XOR è l'addizione di quel campo. Una mappa lineare suriettiva applicata a un input uniforme produce un output uniforme su tutta la sua immagine: ogni fenotipo riceve esattamente 256 / 64 = 4 dei 256 pattern di loci, nessuno escluso né favorito.

Risultato più forte di un semplice 50/50 per ciascun carattere preso singolarmente: qui anche tutte le combinazioni congiunte dei 6 caratteri sono equiprobabili, nonostante i bit condividano dei loci (es. L2 contribuisce sia a Pelle che a Sesso) e siano quindi correlati come funzioni — la linearità della trasformazione garantisce comunque l'uniformità esatta del vettore congiunto, non solo dei margini.